La géométrie euclidienne





Chut !Tu vas assister à un cours d’Euclide, l’un des grands maîtres de la géométrie. Nous sommes à Alexandrie, en Égypte, vers 300 av. J.-C. Euclide fait partie de ces illustres savants qui enseignent dans cette école. Mais fais d’abord connaissance avec le grand maître.
Tu veux participer à mon cours et comprendre les trois notions fondamentales de la géométrie ? Alors clique sur mes élèves et écoute-moi bien. Tu vas voir, c’est follement passionnant !
Tu n’as jamais entendu parler de moi ? Cela m’étonne ! Je suis Euclide. D’ailleurs, la géométrie que tu étudies à l’école s’appelle géométrie euclidienne. Hé hé ! C’est grâce à moi.
J’ai écrit de nombreux ouvrages sur l’optique, l’astronomie, la musique, mais certains ont été perdus.
Heureusement, mon livre Les Éléments est parvenu jusqu’à toi. Je devrais plutôt parler des treize volumes qui le composent. C’est le commencement des mathématiques et, en particulier de la géométrie. Il a été lu, commenté et critiqué pendant plus de vingt siècles ! Imagine, cet ouvrage est, avec la Bible, le livre le plus imprimé au monde.
Maître, pourriez-vous nous rappeler ce qu’est un axiome ?
Un axiome est une vérité indémontrable et admise par tous. Une vérité tellement évidente qu’il faudrait être complètement fou pour ne pas en comprendre le sens.
J’ai répertorié neuf axiomes. En voici deux. À toi de les découvrir !
Voici l’axiome n° 1 : « Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles. »
Si la longueur du trait bleu est égale à la longueur du trait rose et que la longueur de ce trait rose est égale à la longueur de ce trait vert, alors la longueur de ce trait bleu est égale à la longueur du trait vert ! Plus évident, on ne fait pas !
J’ai trouvé un 10e axiome : Ratibelle, tu es la plus belle ! Personne ne pourra dire le contraire !
Voici l’axiome n° 9 : « Le tout est plus grand que la partie. » Cette part de gâteau est bien plus petite que le gâteau entier, non ? Alors, as-tu compris ce qu’est un axiome ?
J’ai bien compris, oui ! Moi, je préfère le tout plutôt que la partie du gâteau !
Maître, pourquoi utilisez-vous des définitions ?
Il faut préciser les mots qu’on utilise pour que tout le monde comprenne bien de quoi on parle. Dans mon livre, je donne 35 définitions. Clique sur l’une ou sur l’autre.
La définition n° 15 définit le cercle en précisant que : tous les points de la circonférence d’un cercle sont situés à égale distance du centre.
Et voici la définition n° 27. Elle précise que : parmi les figures trilatères, les triangles si tu préfères, le triangle rectangle est celle qui a un angle droit.
Définition n° 36 : Ratonic est le rat le plus intelligent qui soit !
Maître, je ne comprends pas très bien ce que sont les postulats.
Imagine la géométrie comme un jeu. Dans tout jeu, des règles sont admises et respectées par tous pour pouvoir jouer correctement. Ces règles du jeu sont les postulats : ce sont des principes nécessaires pour faire de la géométrie et que je vous demande d’accepter sans pouvoir vous les démontrer, car ils sont indémontrables.
O.K., j’ai compris ! Au foot, le joueur ne doit toucher le ballon qu’avec les pieds, ça, c’est un postulat ! C’est comme ça et pas autrement, car si le joueur s’amuse à prendre le ballon avec les mains, ça devient n’importe quoi, ou bien du rugby !
Les postulats sont au nombre de six. Voici le postulat n° 1 : On peut mener une ligne droite de tout point à tout point. Si vous êtes d’accord pour accepter ce postulat ainsi que les cinq autres, alors nous pouvons continuer et nous amuser à faire de la géométrie.
Et si je ne suis pas d’accord avec vous ? Si je change un postulat, une règle du jeu ? Que se passe-t-il ?
Il faudra attendre le début du XIXe siècle pour que des mathématiciens remettent en cause mon 5e postulat. Ils inventèrent alors d’autres géométries, les géométries non-euclidiennes ! Ces géométries ne s’appliquent pas sur le plan, c’est-à-dire dans l’espace « normal » que tu utilises lorsque tu fais de la géométrie euclidienne !
Voici un exemple de mes réflexions géométriques… C’est la proposition 43, dans le livre I des Éléments. Prenons ce rectangle.
Voici sa diagonale et un point quelconque sur cette diagonale.
Traçons maintenant les parallèles à ces côtés.
D’après toi, qu’est-ce que je veux démontrer ? Clique sur la bonne réponse !
Bien vu ! Les deux rectangles de chaque côté de la diagonale ont la même aire.
Regarde ! les deux moitiés symétriques du grand rectangle se superposent. Elles ont bel et bien la même aire !
Les deux triangles jaunes se superposent, et les deux triangles roses également.
Il n’y a plus qu’à soustraire les aires identiques et, par déduction, les deux rectangles de chaque côté de la diagonale ont la même aire ! Et ce, quel que soit le point choisi sur la diagonale. C’est génial, non ?
Maître…
[#_TITRE: [1, 25], #_AIDE: [26, 27], #_INFO: [28, 29], #_DICO: [30, 30], "TOUT04_00": [31, 301], "TOUT04_00A": [303, 487], "TOUT04_01A": [489, 669], "TOUT04_01B": [671, 772], "TOUT04_01C": [774, 1114], "TOUT04_02A": [1116, 1172], "TOUT04_02B": [1174, 1333], "TOUT04_02C": [1335, 1403], "TOUT04_05A": [1405, 1495], "TOUT04_05B": [1497, 1746], "TOUT04_05C": [1748, 1846], "TOUT04_06A": [1848, 2023], "TOUT04_06B": [2025, 2105], "TOUT04_03A": [2107, 2154], "TOUT04_03B": [2156, 2324], "TOUT04_07A": [2326, 2469], "TOUT04_08A": [2471, 2632], "TOUT04_08B": [2634, 2701], "TOUT04_04A": [2703, 2766], "TOUT04_04B": [2768, 3092], "TOUT04_04C": [3094, 3341], "TOUT04_04D": [3343, 3606], "TOUT04_09A": [3608, 3713], "TOUT04_09B": [3715, 4045], "TOUT04_10A": [4047, 4171], "TOUT04_10B": [4173, 4234], "TOUT04_10C": [4236, 4281], "TOUT04_10D": [4283, 4358], "TOUT04_11A": [4360, 4437], "TOUT04_11B": [4439, 4548], "TOUT04_11C": [4550, 4629], "TOUT04_11D": [4631, 4844], "R04_09": [4846, 4852]]